[筆記] 如何用連分數證明 1 = 2？

最近看到 Youtube 頻道 Mathologer 發佈的這支影片

在影片的開頭，
他提出了一個很有趣的無效證明，
可以用連分數（continued fraction）證明 1 = 2，
過程是這樣的：

我覺得這個證明很有趣，
一時之間也看不出破綻，
於是就把 13 分鐘的影片看完了。

但看到最後他也沒有解釋這個證明哪裡有錯，
反而叫觀眾在底下留言自己的答案。

我往下捲，
發現按讚數最多的答案是：

呵呵。

總之，
我把留言看了一遍，
又在 Google 上搜尋，
終於理解這個證明為什麼有錯了：

整個證明的問題就出在把 1（或 2）換成 ··· 那裡，
這一步是不成立的。

仔細想想 1 經過有限次代換後會變成什麼樣子：

會發現右下角的 1 永遠不會消失，
而這個位置代入 1，
整個分數就會是 1。

這個位置代入 2，
整個分數就會是 2。

所以右下角那個數字才是最重要的。

在我們把右下角的數字換成 ··· 的同時，

我們就捨棄了最關鍵的資訊。

這個過程的荒謬程度就像下面這個明顯有誤的證明一樣：

現在可以理解一開始的證明為什麼有問題了吧？

以上就是我得到的最終結論了，
如果你有任何想法，
歡迎在下方留言討論！

Roger’s Notes